مثلث رولو

هر گردی گردو نیست، هر چرخی دایره!هر چرخی دایره نیست!اگر تنها شکل با پهنای ثابت، دایره بود، صنعت گران می توانستند برای این که دایره ای بودن سطح مقطع جسمی را بررسی کنند، پهنا های آن را در همۀ جهت ها اندازه بگیرند، و اگر این پهنا ها یکسان بودند، خیالشان از بابت دایره ای بودن سطح مقطع راحت می بود. اما این طور نیست، زیرا شکل های دیگری هم با پهنای ثابت وجود دارند. بی نهایت شکل دیگر!ساده ترین شکل با پهنای ثابت که دایره نیست، مثلث رولو نام دارد. فرانتس رولو (ریاضی دان و مهندس) اولین کسی بود که متوجه شد این شکل پهنای ثابت دارد، گر چه شکل را بعضی ریاضی دانان قبلی هم می شناختند.

برای روش ترسیم مثلث رولو، ابتدا مثلثی متساوی الاضلاع به نام ABC رسم کنید. بعد دهانۀ پرگار را به اندازۀ طول ضلع باز کنید و نوک پرگار را روی رأس A قرار دهید، و کمانی بزنید که B و C را به هم وصل کنید. همین کار را با رأس های دیگر بکنید. حتماً این شکل را رسم کنید و برای خود تان دلیل بیاورید که چرا پهنای این شکل ثابت است.با همین روش، می توانید شکل های با پهنای ثابت دیگری نیز رسم کنید. مثلاً اگر همین کار را در مورد پنج ضلعی منتظم بکنید، به این شکل می رسید:

توجه کنید که این کار را فقط می توان در مورد چند ضلعی هایی با تعداد فرد ضلع کرد. می توانید بگویید چرا؟
راهی دیگر برای رسم شکل هایی با پهنای ثابت در شکل زیر مشخص شده است. توضیح این که، فرض کنید می خواهیم شکلی با پهنای ثابت برابر r رسم کنیم. نقطه ای مانند B در نظر می گیریم و کمانی به شعاع r و به مرکز B می زنیم. روی این کمان دو نقطه مانند A و C انتخاب می کنیم. کمانی به شعاع r و به مرکز C رسم می کنیم طوری که یکی از دو سر این کمان، نقطۀ B باشد. روی این کمان نقطه ای مانند D انتخاب می کنیم. به مرکز D کمانی به شعاع r رسم می کنیم که یکی از دو سرش، C باشد. اگر بخواهیم ترسیم را تمام کنیم، روی این کمان نقطۀ E را طوری انتخاب می کنیم که فاصله اش تا نقطۀ A برابر r باشد. در این صورت، می توانیم کمان DA را به مرکز E و شعاع r رسم کنیم. با رسم کمان BE به مرکز A و کمان AD به مرکز E (هر دو به شعاع r)، کار به پایان می رسد.

فکر کنید که اگر بخواهیم تعداد کمان ها از پنج بیشتر باشد، چگونه باید این کار را ادامه دهیم. در این جا هم باید تعداد کمان ها فرد باشد.شاید با این مثال ها به نظر برسد که تمام شکل های با پهنای ثابت، از تعدادی کمان تشکیل شده اند. اما چنین نیست. شکلی با پهنای ثابت وجود دارد که هیچ قسمتی از آن، هر چند کوچک، کمانی از دایره نیست!بیایید محیط مثلث رولو با پهنای یک را محاسبه کنیم. پس طول ضلع مثلث متساوی الاضلاع در ابتدای کار، یک واحد است. هر یک از کمان های مثلث رولو، شصت درجه اند. بنا بر این طول هر یک از این کمان ها، 1/6محیط دایره با شعاع یک، یعنی /3است. بنابر این محیط مثلث رولو برابر است با . این عدد با محیط دایره به قطر 1 (که آن هم شکلی با پهنای ثابت برابر یک است) برابر است! آیا این صرفاً تصادف است؟ خیر!

هر گردی گردو نیست، هر چرخی دایره!هر چرخی دایره نیست!اگر تنها شکل با پهنای ثابت، دایره بود، صنعت گران می توانستند برای این که دایره ای بودن سطح مقطع جسمی را بررسی کنند، پهنا های آن را در همۀ جهت ها اندازه بگیرند، و اگر این پهنا ها یکسان بودند، خیالشان از بابت دایره ای بودن سطح مقطع راحت می بود. اما این طور نیست، زیرا شکل های دیگری هم با پهنای ثابت وجود دارند. بی نهایت شکل دیگر!ساده ترین شکل با پهنای ثابت که دایره نیست، مثلث رولو نام دارد. فرانتس رولو (ریاضی دان و مهندس) اولین کسی بود که متوجه شد این شکل پهنای ثابت دارد، گر چه شکل را بعضی ریاضی دانان قبلی هم می شناختند.

برای روش ترسیم مثلث رولو، ابتدا مثلثی متساوی الاضلاع به نام ABC رسم کنید. بعد دهانۀ پرگار را به اندازۀ طول ضلع باز کنید و نوک پرگار را روی رأس A قرار دهید، و کمانی بزنید که B و C را به هم وصل کنید. همین کار را با رأس های دیگر بکنید. حتماً این شکل را رسم کنید و برای خود تان دلیل بیاورید که چرا پهنای این شکل ثابت است.با همین روش، می توانید شکل های با پهنای ثابت دیگری نیز رسم کنید. مثلاً اگر همین کار را در مورد پنج ضلعی منتظم بکنید، به این شکل می رسید:

توجه کنید که این کار را فقط می توان در مورد چند ضلعی هایی با تعداد فرد ضلع کرد. می توانید بگویید چرا؟
راهی دیگر برای رسم شکل هایی با پهنای ثابت در شکل زیر مشخص شده است. توضیح این که، فرض کنید می خواهیم شکلی با پهنای ثابت برابر r رسم کنیم. نقطه ای مانند B در نظر می گیریم و کمانی به شعاع r و به مرکز B می زنیم. روی این کمان دو نقطه مانند A و C انتخاب می کنیم. کمانی به شعاع r و به مرکز C رسم می کنیم طوری که یکی از دو سر این کمان، نقطۀ B باشد. روی این کمان نقطه ای مانند D انتخاب می کنیم. به مرکز D کمانی به شعاع r رسم می کنیم که یکی از دو سرش، C باشد. اگر بخواهیم ترسیم را تمام کنیم، روی این کمان نقطۀ E را طوری انتخاب می کنیم که فاصله اش تا نقطۀ A برابر r باشد. در این صورت، می توانیم کمان DA را به مرکز E و شعاع r رسم کنیم. با رسم کمان BE به مرکز A و کمان AD به مرکز E (هر دو به شعاع r)، کار به پایان می رسد.

فکر کنید که اگر بخواهیم تعداد کمان ها از پنج بیشتر باشد، چگونه باید این کار را ادامه دهیم. در این جا هم باید تعداد کمان ها فرد باشد.شاید با این مثال ها به نظر برسد که تمام شکل های با پهنای ثابت، از تعدادی کمان تشکیل شده اند. اما چنین نیست. شکلی با پهنای ثابت وجود دارد که هیچ قسمتی از آن، هر چند کوچک، کمانی از دایره نیست!بیایید محیط مثلث رولو با پهنای یک را محاسبه کنیم. پس طول ضلع مثلث متساوی الاضلاع در ابتدای کار، یک واحد است. هر یک از کمان های مثلث رولو، شصت درجه اند. بنا بر این طول هر یک از این کمان ها، 1/6محیط دایره با شعاع یک، یعنی /3است. بنابر این محیط مثلث رولو برابر است با . این عدد با محیط دایره به قطر 1 (که آن هم شکلی با پهنای ثابت برابر یک است) برابر است! آیا این صرفاً تصادف است؟ خیر!قضیۀ باربیه . همۀ شکل های با پهنای ثابت برابر a، محیط برابر دارند.نتیجۀ 1. محیط هر شکل با پهنای ثابت a، برابر a است.اثبات قضیۀ باربیه را می توانید در انتهای همین مقاله بخوانید. نتیجۀ 1 را خود تان ثابت کنید (راهنمایی: از دایره استفاده کنید).قضیه ای به نام نابرابری محیطی وجود دارد که بنابر آن، بین شکل هایی که محیط یکسان دارند، مساحت دایره با آن محیط از همه بیشتر است. بنا بر این با توجه به قضیۀ باربیه، می توانیم بگوییم که
نتیجۀ 2. بین تمام شکل های با پهنای ثابت برابر a، دایره بیشترین مساحت را دارد.