مثلث رولو

این مطلب توسط نویسنده‌اش رمزگذاری شده است و برای مشاهده‌ی آن احتیاج به وارد کردن رمز عبور دارید.

مثلث رولو

هر گردی گردو نیست، هر چرخی دایره!هر چرخی دایره نیست!اگر تنها شکل با پهنای ثابت، دایره بود، صنعت گران می توانستند برای این که دایره ای بودن سطح مقطع جسمی را بررسی کنند، پهنا های آن را در همۀ جهت ها اندازه بگیرند، و اگر این پهنا ها یکسان بودند، خیالشان از بابت دایره ای بودن سطح مقطع راحت می بود. اما این طور نیست، زیرا شکل های دیگری هم با پهنای ثابت وجود دارند. بی نهایت شکل دیگر!ساده ترین شکل با پهنای ثابت که دایره نیست، مثلث رولو نام دارد. فرانتس رولو (ریاضی دان و مهندس) اولین کسی بود که متوجه شد این شکل پهنای ثابت دارد، گر چه شکل را بعضی ریاضی دانان قبلی هم می شناختند.

برای روش ترسیم مثلث رولو، ابتدا مثلثی متساوی الاضلاع به نام ABC رسم کنید. بعد دهانۀ پرگار را به اندازۀ طول ضلع باز کنید و نوک پرگار را روی رأس A قرار دهید، و کمانی بزنید که B و C را به هم وصل کنید. همین کار را با رأس های دیگر بکنید. حتماً این شکل را رسم کنید و برای خود تان دلیل بیاورید که چرا پهنای این شکل ثابت است.با همین روش، می توانید شکل های با پهنای ثابت دیگری نیز رسم کنید. مثلاً اگر همین کار را در مورد پنج ضلعی منتظم بکنید، به این شکل می رسید:

توجه کنید که این کار را فقط می توان در مورد چند ضلعی هایی با تعداد فرد ضلع کرد. می توانید بگویید چرا؟
راهی دیگر برای رسم شکل هایی با پهنای ثابت در شکل زیر مشخص شده است. توضیح این که، فرض کنید می خواهیم شکلی با پهنای ثابت برابر r رسم کنیم. نقطه ای مانند B در نظر می گیریم و کمانی به شعاع r و به مرکز B می زنیم. روی این کمان دو نقطه مانند A و C انتخاب می کنیم. کمانی به شعاع r و به مرکز C رسم می کنیم طوری که یکی از دو سر این کمان، نقطۀ B باشد. روی این کمان نقطه ای مانند D انتخاب می کنیم. به مرکز D کمانی به شعاع r رسم می کنیم که یکی از دو سرش، C باشد. اگر بخواهیم ترسیم را تمام کنیم، روی این کمان نقطۀ E را طوری انتخاب می کنیم که فاصله اش تا نقطۀ A برابر r باشد. در این صورت، می توانیم کمان DA را به مرکز E و شعاع r رسم کنیم. با رسم کمان BE به مرکز A و کمان AD به مرکز E (هر دو به شعاع r)، کار به پایان می رسد.

فکر کنید که اگر بخواهیم تعداد کمان ها از پنج بیشتر باشد، چگونه باید این کار را ادامه دهیم. در این جا هم باید تعداد کمان ها فرد باشد.شاید با این مثال ها به نظر برسد که تمام شکل های با پهنای ثابت، از تعدادی کمان تشکیل شده اند. اما چنین نیست. شکلی با پهنای ثابت وجود دارد که هیچ قسمتی از آن، هر چند کوچک، کمانی از دایره نیست!بیایید محیط مثلث رولو با پهنای یک را محاسبه کنیم. پس طول ضلع مثلث متساوی الاضلاع در ابتدای کار، یک واحد است. هر یک از کمان های مثلث رولو، شصت درجه اند. بنا بر این طول هر یک از این کمان ها، 1/6محیط دایره با شعاع یک، یعنی /3است. بنابر این محیط مثلث رولو برابر است با . این عدد با محیط دایره به قطر 1 (که آن هم شکلی با پهنای ثابت برابر یک است) برابر است! آیا این صرفاً تصادف است؟ خیر!

مساله جالب ریاضی

نمونه سوال ریاضی

نام ونام خانوادگی: نام دبیر:اورج پور

ردیف	سوالات	بارم
1	دایره ای به شعاع  3  را در نظر بگیرید. مدلی برای مساحت دایره  ارائه دهید.	1
2	روش های جمع آوری داده ها را فقط نام ببرید.	1
3	نوع متغیرهای زیر را مشخص کنید.                                                                                     الف:  گروه خونی                                      ب: نوع مذهب مسلمانان                                                       ج: رنگ اتومبیل                                      د:  تعداد گل های گلخانه	1
4	فراوانی نسبی دسته ای 5/. و مجموع فراوانی های مطلق 20 است فراوانی مطلق این دسته چقدر است؟	1
5	جدول زیر را کامل کنید. فراوانی تجمعی فراوانی نسبی فراوانی مطلق مرکز دسته ها دسته ها 3 6 8-4 4 4 10 12-8 15 5 16-12 3 18 20-16	2
6	در جدول داده های آماری زیر زاویه مربوط به دسته سوم در نمودار دایره ای چقدر می باشد؟ 12 10 8 6 4 6 7 10 4 3	1
7	نمودار مستطیلی زیر را کامل کنید. 6-8 4-6 2-4 0-2 دسته 3 1 2 4 فراوانی	1

مسئله ی هفته: قطر زوایا را چگونه تقسیم میکند؟

در چهار ضلعی ABCD قطر BD زوایای B و D را بر حسب درجه به صورتی که در شکل زیر ملاحظه میکنید تقسیم کرده است.

اگر قطر دیگر را رسم کنیم دو زاویه ی دیگر چهار ضلعی چگونه تقسیم خواهند شد؟

ما به دنبال یک راه حل هندسی یا مثلثاتی هستیم. راه حل هایی که به روش ترسیمی و یا با استفاده از ماشین حساب یا کامپیوتر به دست آیند البته خوب اند ولی در اینجا مورد نظر نیستند.

جواب: زاویه ی A  به  ۳۰ درجه و ۳۰ درجه و زاویه ی C به ۲۰ درجه و۴۰ درجه تقسیم میشوند.

مقاله یکم: چرا باید ریاضیات خواند؟

 رفاه مادی و آسایشی که بشر امروز از آن برخوردار است در پرتو دانش و فن آوری مدرن و مهندسی و سایر علوم بویژه فیزیک، شیمی، بیولوژی و رشته های مربوط به آنها بدست آمده است. در مطالعه این رشته ها و تقریبا" هر رشته دیگر دانشگاهی، دانشجو بدانستن سطح معینی از ریاضیات نیازمند است. بیشترین معلومات ریاضی برای مطالعه در رشته های مهندسی، فیزیک و شیمی مورد نیاز است. سایر رشته ها مانند پزشکی، روانشناسی، جامعه شناسی، بیولوژی، کشاورزی، بازرگانی، تجارت، بانکداری و ده ها رشته دیگر اگر چه ظاهرا" ارتباط زیادی با ریاضیات ندارند – و در حقیقت تا صد سال قبل هم این رشته ها تکیه زیادی بر ریاضیات نداشتند – اما در شکلهای مدرن و امروزی خود، این رشته ها دارای تئوری هایی هستند که درک آنها و کار بردشان شدیدا" بستگی به آمار و تکنیک های ریاضی دارد. تهیه آمار از طریق جمع آوری اطلاعات و تجزیه و تحلیل آنها که تنها به روشهای ریاضی و یا با استفاده از کامپیوتر امکان پذیر است، امروزه یکی از راه های مهم حل مسائل علوم تجربی و مسائل موجود در جوامع بشری است. حتی رشته های مختلف علوم کامپیوتری هم بدون ریاضیات بخوبی به پیش نمیروند.

ریاضیات تنها زبانی است که پدیده های طبیعی جهان هستی را بخوبی توضیح میدهد. ریاضیات حتی پدیده های اجتماعی _خواه اجتماعات بشری، خواه اجتماعات حیوانی_ را نیز میتواند بخوبی تشریح کند و با ترسیم مدلی برای آنها تغییرات آتی آنها را پیش بینی نماید. لوباچفسکی (1) میگوید : "هیچ شاخه ای از علم ریاضی _هر اندازه هم که انتزاعی و مجرد باشد_ وجود ندارد که یک روز کاربردی برای آن در توضیح پدیده های دنیای واقعی پیدا نشود." از کهکشان ها و حرکت سیارات عظیم به دور خورشید ها گرفته تا حرکت ابر ها، بادها، گردبادهاو از پرواز فضا پیما های غول پیکر و هوا پیماهای عظیم الجثه و حرکت قطارها، کشتی ها و اتومبیل ها گرفته تا افتادن سیبی از درخت و سقوط قطرات باران و حدوث رنگین کمان و حرکت بی امان و خستگی ناپذیر الکترون ها به دور هسته اتم ها و فعل و انفعالات شیمیایی که میلیون ها از آن هر لحظه در طبیعت رخ میدهد و هر گونه  "تغییر" در هر چیز و هر زمان، همه و همه با کمک مدلها و معادلات ریاضی قابل بر رسی هستند. قسمت عمده فیزیک با زبان ریاضی قابل تشریح و فهم است. تئوری کوانتوم و تئوری نسبیت با زبان ریاضی است که کوشش دارند قوانین کائنات را تشریح کرده و توضیح دهند.

گالیله میگوید : " جهان هستی همواره در برابر دیدگان حیرت زده انسان گسترده خواهد ماند و انسان هرگز نمیتواند آنرا درک کند مگر اینکه زبانی را که این جهان با آن نوشته و توضیح داده شده است یاد بگیرد و حروف آنرا بشناسد. این زبان چیزی جز ریاضیات نیست و این حروف جز مثلث، دایره و سایر اشکال هندسی چیز دیگری نیستند. بدون این زبان انسان حتی یک کلمه از جهان هستی را نخواهد فهمید و همواره گمشده ای را ماند که در کوچه های پر پیچ و خم سرگردان است."

ریاضیات روش " منطقی فکر کردن" و  "واقع بین بودن" را میاموزد. ریاضیات خالی از حدس و گمان و بدور از آن است. اثبات هر قضیه یا شکل دادن هر تئوری و استخراج هر فرمول بر اساس منطق و استدلال ریاضی است و وقتیکه یکی از این قضایا یا فرمول ها ثابت شد دیگر مرور زمان روی آن اثری نخواهد گذاشت. قضیه فیساغورس در هندسه اقلیدسی بیش از 2500 سال عمر دارد و با بیش از 250 روش مختلف ثابت شده است. همه این روشها یک حقیقت واحد را ثابت کرده اند، حقیقتی که تا به امروز تغییر نکرده و در آینده نیز تغییر نخواهد کرد. سایر قضایای ثابت شده ریاضی نیز همین طورند و دیگر تغییر نمیکنند و گذشت زمان روی آنها اثری ندارد، در حالیکه برخی از نظریه هایی که در سایر رشته های علوم_ بویژه علوم تجربی _مطرح میشوند بمرور زمان کهنه شده و عوض میشوند. دیگران میایند و با تجربه ها و مشاهدات جدید خود نظریه ها را عوض میکنند یا آنها را بهبود می بخشند و به روز میکنند.

بسیاری از مردم فکر میکنند که فارغ التحصیل رشته ریاضی فقط کار آیی و کفایت در تدریس ریاضیات را دارد و بس در حالیکه امروزه در غرب، بسیاری از کار فرما ها منجمله دولت ها برای استخدام در بخش های مختلف سازمان ها و نهاد های خود علاقمندند متخصصینی را که استخدام میکنند، دارای پشتوانه خوبی از ریاضیات نیز باشند و بویژه قادر به تجزیه و تحلیل مسائل موجود در آن کار و مطابقت دادن آنها با مدلهای ریاضی و بالاخره حل مسئله باشند.

اینها برخی از دلائلی بودند که آموختن ریاضیات را در عصر امروز ضروری میکنند. اما آموختن ریاضیات یک دلیل دیگر هم دارد و آن اینستکه برای بسیاری از انسانها ریاضیات از جذابیت خاصی برخوردار است و آن پی بردن به شگفتی ها و اسرار و زیبایی هایی است که این دانش در ذات خود نهفته دارد. 

مقاله دوم: ریاضیات زیبا و شگفت انگیز است

از زیبایی ها و شگفتی های ریاضی سخن گفتن آسان است اما درک آن متاسفانه برای همه کس آسان نیست. زیبایی های صوری را همه می بینند و همه هم تقریبا" بیک اندازه از آنها لذت می برند. اگر منظره ای یا صورتی یا تابلویی در نظر شما زیبا باشد، همان منظره، صورت یا تابلو در نظر دیگران هم کم و بیش به همان اندازه زیبا خواهد بود و دیگران هم از آنها تقریبا" به همان اندازه که شما لذت میبرید، لذت خواهند برد. اما زیباییهای ذهنی و لذت بردن از آنها مستلزم داشتن زمینه ی ذهنی مناسب است. بعنوان مثال، عرفان و فلسفه عرصه هایی از اندیشه بشری هستند که کاملا" ذهنی اند. اگر کسی بخواهد این رشته ها را درک کند و آنچه که فلاسفه و عرفا و رهروان این طرق زیبایی نامیده اند را ببیند و احساس کند راهی ندارد جز آنکه الفباء این عرصه های تفکر را بیاموزد و از  "هفت شهر" آنها بگذرد و مراحل و مراتب آنها را طی کند تا زمینه های لازم را برای ذهن خود بمنظور درک آن زیبایی ها فراهم نماید و از این راه به شناخت و لذت برسد.

ریاضییات نیز که محصول مستقیم نبوغ بشر است عرصه ای است ذهنی و از قاعده فوق مستثنا نیست. برای آنکه بتوان زیبایی های آنرا دید و شگفتی ها و عظمت قدرت آنرا در تشخیص و کشف حقیقت و حل مسائل درک کرد باید الفباء آنرا آموخت، اصول آنرا فرا گرفت و با تمرین و ممارست، روزگاری با آنها مانوس بود تا از این راه به درجاتی از شناخت رسید و لذت همنشینی با آنرا احساس کرد. ریاضیات البته عرصه های عملی هم فراوان دارد که مشاهده آثار آنها رضایت مندی و لذتی از نوع دیگر را در انسان ایجاد میکند. 

در ریاضیات شش عدد وجود دارند که از بقیه ی اعداد متمایزند زیرا آنها ویژگی هایی دارند که سایر اعداد ندارند. این اعداد عبارتند از : صفر، یک، پی(نسبت محیط دایره به قطر آن)، e  (عدد اویلر)،i   (مبنای اعداد مختلط) و فای(نسبت طلایی). اویلر ریاضیدان سویسی قرن هجدهم رابطه ای بین پنج تا از این اعداد را بصورت این معادله کشف کرد:                     

 اگر این معادله را در یک قاب عکس قرار داده و روی دیوار و در کنار تابلوی مونالیزا نصب کنید، در چشم یک ریاضیدان نه تنها هیچ از مونالیزا کم ندارد بلکه میتواند بسیار شگفت انگیز تر هم باشد. مونالیزا را تقریبا" هر کسی به اندازه فهمی که از هنر نقاشی دارد درک میکند و بدیهی است هر چه این فهم عمیق تر و فنی تر باشد، درک هم عمیق تر خواهد بود. اما زیبایی و شگفتی این معادله را تنها کسی میفهمد که با اعداد الفت دراز داشته و بویژه این پنج عدد را شناخته و چگونگی خلقت آنها را فهمیده باشد و بداند که هر چند آنها به ظاهر نزدیک هم اند اما ماهیت آنها به اندازه کهکشانها از یکدیگر دور است ولی وقتی استادانه در کنار هم قرار میگیرند چنان با شوق با یکدیگر می جوشند که تعادلی متقارن و بس زیبا و بدیع بوجود می اورند. تازه این معادله خود حالت خاصی از یک معادله کلی تر، زیبا تر و شگفت انگیز تری است که پای دو نسبت مثلثاتی اصلی را هم به میان میکشد :

از این  "تابلو ها" که هر کدام حاصل نبوغ یک ریاضیدان است در دنیای بزرگ ریاضیات فراوان یافت میشود. تقریبا" دو هزار سال پیش  "هارون"  ریاضیدان ، مهندس و مساح رمین های زراعتی در مصر باستان فرمولی کشف کرد که مساحت مثلث را از روی طولهای سه ضلع آن به دست میدهد. اگر طول اضلاع مثلثی را به  a   و  b  و  c  و نصف محیط آنرا به  p   نشان دهیم، آنگاه مساحت مثلث،  A ، از روی فرمول هارون محاسبه میشود :

تقریبا" ششصد سال پس از هارون مصری، براهماگوپتای هندی فرمول مشابهی برای چهار ضلعی محاطی کشف کرد. اگر طول اضلاع یک چهار ضلعی محاطی را به  a   ،   b   ،  c   و  d    و نصف محیط آنرا به p نشان دهیم، آنگاه مساحت چهار ضلعی،   A   ، از روی فرمول براهماگوپتا محاسبه میشود:

آیا این فرمولها را با اینهمه سادگی شکل و تقارن جز زیبا چیز دیگری میتوان نامید؟  

عدد   پی   بدون تردید یکی از مهمترین و اسرار آمیز ترین اعداد ریاضی است. محققین بسیاری در گوشه و کنار جهان از زمان باستان تا به امروز (و بویژه در سالهای اخیر پس از پیدایش کامپیوتر) میلیونها ساعت از وقت خود را صرف مطالعه این عدد اسرارآمیز کرده اند و هر چه بیشتر در باره اش تحقیق میکنند و بیشتر میفهمند، به پیچیدگی و اسرارامیز بودن آن بیشتر افزوده میشود. بیش از 200 بیلیون از ارقام بعد از ممیز آنرا کشف کرده اند اما هرگز انظباطی در ترتیب آنها مشاهده نشده است. چرا ریاضیات که سراسر انظباط است گاهی این چنین بی انظباط میشود که در بیش از 200 بیلیون رقم هم هیچ ترتیبی مشاهده نمیشود؟ تازگی ها محققینی که در باره عدد پی  تحقیق میکنند، به فکر افتاده اند که ممکن است بتوانند گروههایی از ارقام پی را پیدا کنند که به همان صورت گروهی و به شکلی منظم و با قاعده تکرار شوند. آنها این را "نظمی در بی نظمی" نامیده اند اما هنوز نتیجه قطعی حاصل نشده است. با اینهمه آیا این شگفت انگیز و اسرار آمیز نیست که در میان اینهمه بی نظمی ارقام پی، رقمهای 358 ام، 359 ام و 360 ام بعد از ممیز این رشته بی انتها بترتیب اعداد 3 و 6 و 0 هستند که عدد (360) را تشکیل میدهند که درجات موجود در دایره است؟! آیا این یک تصادف است یا یک راز؟  در زیر، عدد پی را تا 360  رقم بعداز ممیز در شش ردیف شصت تایی مشاهده میکنید. بخصوص به سه رقم آخر آن توجه فرمایید : 

حالا شما اگر آرک تانژانت یک، دو و سه را با هم جمع کنید همین عدد اسرار آمیز بسادگی پیدا میشود:

 نه تنها این معادله به خودی خود زیباست بلکه برهان آن نیز بسیار زیباست خصوصن که به "برهان بی کلام"شهرت یافته است یعنی بوسیله یک "شکل" و در کمال ایجاز این فرمول ثابت میشود                                                                                                                                     

یکی از شاگردان من که هزار رقم بعد از ممیز عدد پی را فقط بخاطر تفنن و اینکه قدرت حافظه اش را نشان بدهداز حفظ کرده بود میگفت که برای از حفظ کردن آنها یک "ریتمی" را پیدا کرده است و وقتیکه 45 دقیقه وقت خواست تا در حضور عده ای منجمله روزنامه نگاران آن هزار رقم را روی تخته بنویسد، گروه گروه ارقام را مینوشت و بین این گروهها جاهایی را خالی میگذاشت و بعد بر میگشت و آن جاهای خالی را با ارقام دیگری پر میکرد تا هزار رقم کامل شد. قابل توجه است که بدانید رکورد حفظ کردن ارقام بعد از ممیز عدد پی متعلق به یک ژاپنی بنام Hiroyuki Goto  است که در سال 1995 توانست 42195 رقم را حفظ کند.

در حدود 2300 سال پیش، اقلیدس ثابت کرد که اعداد اول پایان ناپذیرند. برهان او تا به امروز یکی از زیبا ترین برهان های علم ریاضی و از شاهکار های ریاضیات استدلالی است که بواسطه سادگی و ایجاز، بسیار قابل تحسین است. البته برهان های دیگری هم هستند که در مقام خود زیبا و ستودنی میباشند ولی برهان اقلیدس چیز دیگری است. او چنین استدلال کرد: اعداد اول بی پایانند اما اگر کسی ادعا کند که پایانی بر اعداد اول وجود دارد، اجازه دهید آن "بزرگترین" عدد اول را   P_L   بنامیم( مخفف The Last Prime )، پس سلسله اعداد اول از ابتدا تا انتها خاهد شد :

     حالا همه این اعداد را در هم ضرب کرده و به حاصلضرب آنها یکواحد اضافه میکنیم و نام این عدد جدید را Q میگذاریم :

  Q عدد جالبی است. اگر آنرا بر هر یک از اعداد اول موجود (از  2  گرفته تا  P_L ) تقسیم کنیم، باقیمانده هر تقسیم برابر یک خواهد شد. پس  Q  خود "اول" است و بدیهی است که از  P_L  هم بزرگتر است( چون برابر است با حاصلضرب    P_L در تمام اعداد اول موجود قبل از آن، به اضافه یک ). پس P_L  بزرگترین عدد اول نیست و Q  از آن بزرگتر است. این روش استدلال ریاضی را در فارسی، برهان خلف ، در انگلیسی Proof by Contradiction و در لاتین Reductio ad Absurdum میگویند.

شگفتیهای ریاضیات چون سلسله اعداد بی پایانند. تردید دارم که در سایر رشته هایی که از نبوغ بشر سرچشمه گرفته و زاده شده اند، اینهمه رمز و راز و شگفتی پیدا شود که در ریاضیات هست. باید ریاضیات را مطاله کرد تا به این زیبایی ها و شگفتی ها پی برد.

"نسبت طلایی" که به حرف یونانی فای نشان داده میشود و امیدوارم در فرصت مناسبی بتوانم مقاله ای جداگانه در باره آن خدمتتان تقدیم کنم، یکی از شگفتیهای بزرگ اعداد است. فای از دوران باستان شناخته شده و در زمینه های هنر و معماری بسیار به کار برده شده است لیکن تحقیقاتی که اخیرا" روی آن شده نقش حیرت انگیز و باور نکردنی آنرا در طبیعت بیشتر آشکار ساخته است. نسبت طلایی یا عدد طلایی عددی است تقریبا" برابر  1.618  و تحقیقا" برابر

که ظاهرا" هیچ فرقی با اعداد گنگ دیگر ندارد جز آنکه مقدار عددیش متفاوت است. اما در حقیقت عددی است بسیار مخصوص و اسرار آمیز. این عدد چطور بوجود میاید؟

مربع ABCD  را در نظر بگیرید با طول ضلع یکواحد( شکل زیر ). نقطه ی O  وسط ضلع CB  است. به مرکز این نقطه و به شعاع  OA کمانی بکشید تا امتداد CB را در نقطه ی Q قطع کند. مربع مستطیلPQCD  یک  "مستطیل طلایی" است و نسبت طول به عرض آن برابر  1.618  میباشد.

 گفته شده است که چنین مستطیلی به چشم انسان زیباتر از سایر مستطیل ها است. بهمین دلیل از دوران باستان تا به امروز در معماری بسیار به کار رفته است و امروز هم وقتی میخواهند چیزی را مستطیل شکل بسازند که چشم نواز هم باشد آنرا به شکل مستطیل طلایی میسازند یعنی اگر طولش را بر عزضش تقسیم کنیم عددی نزدیک به  1.6  بدست میاید. به عنوان مثال کارتهای اعتباری، گواهینامه رانندگی و کارتهای تلفن همگی به مستطیل طلایی نزدیک اند. نسبت طلایی در ساختمان بسیاری از قسمتهای بدن انسان منجمله دست، صورت، ضربان قلب، اندازه  DNA و غیره، همچنین در ساختمان بدن گیاهان و جانوران مشاهده شده است. مثلا" نسبت طول ساعد انسان (از آرنج تا مچ دست) را بر طول کف دست برای تعداد زیادی از انسانها محاسبه کرده و معدل گرفته اند : عددی نزدیک به    1.6 بدست آمده است. (در مورد من این نسبت  27 cm  به  19 cm  است که برابر  1.42 میباشد)

 و نیز وقتیکه مولکول DNA   را در یک مستطیل محاط کنید بطوریکه اضلاع مستطیل مماس بر آخرین اتمهای مولکول از چهار جهت باشند، مستطیل طلایی بدست خواهد آمد.

 حتی در انجیل نیز اشاره ای به نسبت طلایی شده است، بهمین دلیل این نسبت را از قدیم  "نسبت الهی" هم گفته اند و گروهی را عقیده بر این است که در خلقت جهان هستی و کاینات این نسبت نقش ویژه ای دارد.

رشته ی فیبوناچی که توسط کشیشی مسیحی به همین نام(Leonardo Fibonacci, 1170-1240 ) ساخته شد رشته ایست که هر ترم آن از جمع کردن دو ترم قبلی اش بوجود میاید. اگر این رشته را با صفر شروع کنیم، بیست ترم اول آن خواهد شد

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181                        

اگر هر ترم این رشته را بر ترم قبلی اش تقسیم کنیم، نسبت طلایی بدست میاید و هر چه که دو ترم انتخاب شده بزرگتر باشند خارج قسمت آنها به مقدار تحقیقی نسبت طلایی نزدیکتر میشود. البته  اجباری نداریم رشته فوق را با صفر شروع کنیم، میتوانیم آنرا با هر عدد مثبت دلخواهی( بعنوان ترم یکم )شروع کنیم وآنرا با عدد قبلی اش جمع نماییم تا ترم دوم بدست آید و این ترم را نیز با ترم قبلی اش جمع کنیم تا ترم سوم حاصل شود و همینطور... این رشته البته دیگر رشته فیبوناچی نیست و ما میتوانیم مثلا" نام خودمان را روی آن بگذاریم! بعنوان مثال اگر ترم اول را  81  انتخاب کنیم، آنگاه خواهیم داشت :

81, 161, 242, 403, 645, 1048, …                                                                                            

در اینجا نیز اگر هر ترم را بر ترم قبلی اش تقسیم کنیم، خارج قسمت، "نسبت طلایی" خواهد شد و هر چه جلوتر برویم این نسبت دقیقتر میشود.

حالا یک عدد مثبت انتخاب کنید و آنرا وارد یک ماشین حساب نمایید. جذر آنرا بگیرید و به آن یکواحد اضافه کنید. باز جذر عدد حاصل را بگیرید و به آن یکواحد اضافه کنید و اینکار را چندین مرتبه تکرار نمایید. با کمال  تعجب خواهید دید که حاصل محاسبات پس از نوسانهای زیاد به نسبت طلایی نزدیک میشود و هر چه چرخه فوق را بیشتر تکرار کنید به مقدار تحقیقی آن نزدیکتر خواهید شد. اگر عدد انتخابی شما یک باشد، آنگاه نسبت طلایی برابر خواهد شد با :

این مرتبه عدد مثبت دلخواه دیگری بگیرید، آنرا معکوس کنید و به آن یکواحد اضافه نمایید. حاصل را باز معکوس کنید و به آن یکواحد اضافه نمایید و اینکار را چندین مرتبه دیگر هم تکرار کنید. باز پس از نوسانهای زیاد، به نسبت طلایی میرسید. اگر این مرتبه نیز عدد انتخابی شما یک باشد، آنگاه نسبت طلایی برابر خواهد شد با :

آنچه قابل ملاحظه است اینستکه محاسباتی که در سه چهار آزمایش فوق انجام گرفت، الگوریتمی کاملا" متفاوت با هم دارند :

 "جمع کردن با ترم قبلی" و "جذر گرفتن و اضافه نمودن یک" و "معکوس نمودن و اضافه کردن یک" ماهیتی کاملا" متفاوت دارند ولی با کمال تعجب حاصل همگی یک چیز است : نسبت طلایی.

آیا میتوان این پدیده ها را جز "زیبا و شگفت انگیز" چیز دیگری نامید؟

از چند هزار سال پیش به اینطرف که بشر هندسه اقلیدسی را آموخت و با مفاهیم، اصول و قضایای آن آشنا گشت، همواره این اصل بدیهی راپذیرفته بود که هر شکل مسطحی، خواه کوچک باشد خواه بزرگ، هم مساحتش معین است و هم محیطش. مثلا" اگر قطعه زمینی دارای مساحتی برابر با  1000  متر مربع باشد،بسته به اینکه چه شکلی داشته باشد، دارای محیط مشخصی خواهد بود : مثلا" اگر به شکل دایره باشد محیطش  112  متر است و اگر به شکل یک مثلث متساوی الاضلاع باشد، محیطش  144  متر خواهد شد. سرزمین ایران دارای مساحتی تقریبا" برابر    1, 648, 000کیلومتر مربع است. اگر ایران به شکل یک دایره بود پیرامونی برابر  4551  کیلومتر میداشت. اگر این مسافت را با خودرویی که سرعتش صد کیلومتر در ساعت است طی کنیم، تقریبا"  46  ساعت طول میکشد تا این مسافت را بپیماییم. اگر ایران به شکل یک مربع بود، پیرامونش  5135  کیلومتر میشد که با همان خودرو ظرف تقریبن  51  ساعت میتوانستیم یک دور کامل بدور آن بزنیم.

در حدود صد سال پیش یک ریاضیدان سوئدی بنام کخ(Niels Fabian Helge von Koch, 1870-1924 ) وقتیکه مشغول مطالعه اشکال هندسی بود و مساحت ها و محیط های آنها را بررسی میکرد، متوجه یک خاصیت غیر عادی و تا حدودی پارادوکسیکال در برخی از آنها شد. او کشف کرد که میتوان شکلهایی ترسیم نمود که اندازه مساحتشان معین، اما اندازه محیطشان بینهایت باشد و جالب اینجاست که الزامی هم ندارد که این چنین شکلهایی بسیار بسیار بزرگ باشند تا محیطشان بینهایت شود، برعکس میتوانند به بزرگی یک کف دست باشند و در عین حال محیطشان بینهایت باشد. برای اینکه این موضوع بهتر درک شود به مثال زیر توجه فرمایید :

 فرض کنید که یک مثلث متساوی الاضلاع دارید که هر ضلع آن  81  سانتیمتر است. هر ضلع را به سه قسمت مساوی تقسیم کنید( هر یک 27 سانتیمتر )و قسمت میانی را بردارید و بجای آن یک مثلث متساوی الاضلاع که طول هر ضلع آن  27  سانتیمتر باشد( بدون قاعده، مطابق شکل زیر )قرار دهید تا ستاره شش پر درست شود. محیط این ستاره متشکل از  12  قطعه خط است هر یک به طول  27  سانتیمتر. هر یک از این قطعه خط ها را به سه قسمت مساوی تقسیم کنید( هر یک 9 سانتیمتر )و مثل دفعه قبل، قسمت میانی آنرا بردارید و بجایش یک مثلث متساوی الاضلاع با ابعاد  9  سانتیمتر( باز بدون قاعده )قرار دهید تا ستاره  18  پر درست شود.

 اگر اینکار را بینهایت مرتبه انجام دهید، شکلی حاصل میشود که شبیه دانه های کریستال برف در زیر میکروسکوپ است و بهمین دلیل هم آنها را شکلهای دانه برفی( Snowflake Curves )میگویند.

با استفاده از فرمولهای تصاعد هندسی میتوان ثابت کرد که مساحت چنین شکلهایی بسوی مقدار معینی میل میکند در حالیکه پیرامونشان بسوی بینهایت میرود( نگاه کنید به مسئله شماره   )

اگر به شکلهای فوق با دقت نگاه کنید، خواهید دید که همه آنها در یک مربع معین محاط شده اند.  صرفنظر از اینکه چند مرتبه اضلاع مثلث ها را کوچک وکوچکتر کنید، اشکال جدید حاصل، هر گز از مربع محیطی خود خارج نمیشوند و بهمین دلیل هم مساحت آنها همواره کمتر از مساحت مربع است ولی جالب اینجاست که در همین مربع محدود، محیط این دانه های برفی با افزایش تعداد مثلثهای بدون قاعده افزایش یافته و بسوی بینهایت میل میکند.

اگر تکه ای کوچک از یک منحنی برفی را در زیر ذره بین بزرگ کنیم، شکلی دقیقا" شبیه دانه بزرگتر آن بدست میاید. اشکالی که چنین خاصیتی را دارا هستند، اشکال شکسته( Fractals )نامیده میشوند و ان بخش از هندسه که در باره این اشکال گفتگو میکند، هندسه اشکال شکسته(Fractal Geometry )نام دارد.

در آزمایش فوق اگر بجای مثلث متساوی الاضلاع، مثلن با یک مربع شروع میکردید، و در وسط هر ضلع آن، مربع کوچکتری( با اضلاع مثلا" 4/1 )میگذاشتید و اینکار را بینهایت مرتبه تکرار میکردید باز شکلی دانه برفی منتها با مساحت دیگری بدست میامد ولی محیطش بهر حال بسوی بینهایت میرفت.

در سال  1949  یک ریاضیدان هندی به نام کاپرکار( Kaprekar, 1905-1988 )ویژگی جالبی را در اعداد کشف کرد و در مقاله ای در همان سال منتشر نمود. او کشف خود را اینطور توضیح داد : یک عدد چند رقمی انتخاب کنید( مثلن 8952 ). ارقام آنرا یکبار بصورت نزولی مرتب کنید( 9852 )و یکبار هم بصورت صعودی( 2589 )تا "بزرگترین" و "کوچگترین" عدد با همان ارقام حاصل آید. تفاضل این دو عدد را بدست آورید( 7263 )و با این عدد نیز همان کاری را بکنید که با عدد انتخابی خود کردید : یعنی ارقام آنرا بصورت نزولی و بعد بصورت صعودی مرتب کنید( 7632 و 2367 )و تفاضل آنها را بدست آورید و اینکار را چند مرتبه دیگر هم تکرار کنید. با کمال تعجب خاهید دید که همیشه به یک عدد ثابت خواهید رسید. اگر عدد انتخابی شما چهار رقمی بوده باشد عدد ثابتی که همواره در عاقبت به آن میرسید  6174  خواهد بود. این عدد را "ثابت کاپرکار برای چهار رقمی ها" میگویند. این آزمایش را با یک عدد سه رقمی یا پنج رقمی هم انجام دهید. خواهید دید که برای هر عدد  n- رقمی یک " ثابت کاپرکار" مخصوصی وجود دارد که تغییر ناپذیر است.

 از آن تاریخ تا کنون و بخصوص در سالهای اخیر و با استفاده از کامپیوتر تحقیقات زیادی روی این اکتشاف شده و نتایج جالبی هم بدست آمده است. مثلا" معلوم شده که دقیقا"  63  عدد سه رقمی هستند ( مثل  212 و 787 و غیره )که این خاصیت را ندارند و در نهایت به صفر منتهی میشوند در حالیکه سایر اعداد سه رقمی ظرف حد اکثر شش چرخه به عدد  495  ( ثابت کاپرکار برای سه رقمی ها )میرسند.  همچنین معلوم شده است که دقیقا"  77  عدد چهار رقمی هستند( مثل  4544 و 5556 وغیره )که این خاصیت را ندارند و باز به صفر منتهی میشوند در حالیکه بقیه ی اعداد چهار رقمی ظرف حد اکثر هشت چرخه به عدد  6174  ( ثابت کاپرکار برای چهار رقمی ها )میرسند.

براستی چرا این اتفاقات میافتند و چگونه میتوان اینهمه نظم و آنهمه بی نظمی را توضیح داد؟ آیا در همه آن بی نظمی ها خود نظمی نهفته نیست که هنوز بر ما پوشیده است؟

همانگونه که قبلا" گفته شد شگفتی ها و زیبایی های ریاضییات پایانی ندارند. تحقیقات ریاضیدانان و جستجوگران دایمن پرده از روی آنها برمیدارد و جلوه دیگری از رازهای درون آنها را آشکار میکند، رازهایی که همواره در طی قرون برای بشر جذاب و تحسین بر انگیز بوده اند. آنچه در این مقاله در مورد زیبایی ها و شگفتی های ریاضییات گفته شد چون قطره ای بود از دریا. امیدوارم در طول مطالعه ی خود از ریاضییات، با چشم زیبا بین، و با تعمق در جزئیات هر مطلبی که مطالعه میکنید و بخصوص با توجه عمیق به الگوهای ریاضی که سر شار از نظم( و گاهی بی نظمی )هستند بتوانید زیبایی ها و شگفتی های بیشتری ببینید و شاید خود روزی در میان آنهمه بی نظمی، نظمی کشف کنید و یک شگفتی جدید خلق نمایید. پایان

مقاله سوم: ریاضیات حقیقت را بهتر از ما میبیند و کشف میکند

  چیزی که همیشه بموازات زیبایی ها و شگفتی های ریاضیات برای من جذابیت داشته و به نظر من این یک جذابیت ابدی است، قدرت شگرف و خارق العاده ریاضیات است در تشخیص و کشف حقیقت، بخصوص جایی که فکر و ذهن و حواس عمومی انسان از تشخیص آن عاجز است و به بیراهه میرود.

گفته شده است که ریاضیات زاده نبوغ بشر است. این گفته کاملا" درست است. اگر بشر خلقت نمییافت ریاضیات هم بوجود نمی آمد. قبل از بشر هستی بود، طبیعت بود، فیزیک بود، شیمی بود، تاریخ و جغرافیا بود، زمین بود، حیات بود، در واقع همه چیز بود اما شمارش نبود، عدد نبود. بشر آمد، عدد آورد، شمارش آورد، دستگاه دهدهی خلق کرد( شاید بخاطر آنکه ده انگشت داشت )و کم کم جمع و تفریق و ضرب و تقسیم و جبر و هندسه و مثلثات آورد و اخیرا" هم کلکولس و ریاضیات جدید را خلق کرد و بدان افزود و هنوز هم در حال گسترش آنست. پس تردیدی نیست که  "کودک ریاضیات"  از  "مادر مغز"  بشر زاده شده است. اما جالب اینجاست که این کودک در تشخیص حقیقت بسی از مادر هوشمند تر است. آنگاه که فکر ما از درک حقیقتی عاجز میشود و به بیراهه میرود، اگر آنجا قلمرو ریاضیات باشد، این ریاضیات است که راه را نشان میدهد، حقیقت را کشف میکند و جواب را بدست میاورد.

به چند مسئله ی زیر که در دوران تحصیل یا تدریس ریاضیات به آنها بر خورده ام و برای اثبات مدعای فوق مثالهای بسیار خوبی هستند توجه فرمایید و ببینید برای حل کردن این مسائل و صد ها مسئله مشابه دیگر ذهن آدمی چگونه بطور طبیعی و غریزی به بیراهه میرود و از جواب بدور میافتد.

مثال یک. مزرعه ای است به شکل زیر که مساحتش 5000 متر مربع است(نیم هکتار). میخواهیم با کشیدن دیوار مستقیمی در داخل مزرعه، آنرا به دو بخش تقسیم کنیم بطوریکه مساحت های هر دو بخش با هم برابر باشند (هر یک برابر  2500  متر مربع  باشد). طول کوتاه ترین دیوار ممکن چند متر است و کجا باید کشیده شود؟

                                  (قبل از اینکه ادامه مطلب را بخوانید، لطفا" چند دقیقه به مسئله فکر کنید)

راه حلی که فورا" و بطور غریزی به ذهن خطور میکند در شکل (1) نشان داده شده است.در این شکل، دیوار، مزرعه را به دو مثلث دیگر تقسیم میکند که مساحت هر کدامشان  2500  متر مربع است.طول دیوار هم به سادگی قابل محاسبه است( تا دو رقم اعشار برابر است با m 70.71 ). دو راه حل دیگر هم برای مسئله بنظر میرسد که در شکلهای (2) و (3) نشان داده شده اند. در این دو شکل هر دیوار، مزرعه را به یک ذوذنقه و یک مثلث تقسیم میکند که مساحتهایشان با هم برابر است. محاسبه ی طول دیوارها هم کار مشکلی نیست و در شکلها نشان داده شده است.

این سه راه حل چیزی است که به نظر بیشتر افراد میرسد. احتمالا" شما هم به یکی از این راه حلها فکر کرده اید. دیوار شکل (3) البته مردود است زیرا طول آن صد متر است و این بلند تر از دیوارهای دو شکل دیگر است. دیوارهای شکلهای (1)و (2) اگر چه کوتاه ترند اما آنها نیز جواب نهایی مسئله نیستند. حقیقت امر این است که دیوار کوتاه تری وجود دارد که مزرعه را به دو بخش با مساحتهای مساوی تقسیم میکند. اما این دیوار کجا باید کشیده شود و طول آن چقدر است؟ ایا دیوار میتواند بصورت شکلهای (4) یا (5) باشد؟

بدیهی است که دیوار شکل (4) از دیوار شکل (1) طولانی تر میباشد، مضافا" اینکه مساحتها نیز نابرابرند. پس این راه حل نیز مردود است. دیوار شکل (5) میتواند کوتاه تر از دیوار شکل (1) باشد اما بنظر نمیرسد که مساحتهای دو قطعه زمین با هم برابر باشند، اگر اینچنین باشد این راه حل هم مورد تردید است.  پس این دیوار مرموز کجاست و طول آن چقدر است؟ اینجا جز آنکه ریاضیات پا در میان نهد و جواب را پیدا کند راه دیگری نیست. من عجالتا" جواب مسئله را به شما میگویم : طول کوتاه ترین دیوار ممکن m 64.36 است، اما پیدا کردن این جواب و اینکه دیوار کجا باید کشیده شود را فعلا" به عهده خودتان میگذارم تا بعدا" در قسمت مسائل هفتگی دوباره آنرا بررسی کنیم.(نگاه کنید به مسئله ی 9 )

مثال دو. در یک مجلس جشن تعداد زیادی از دوستان شما شرکت کرده اند و شما میخواهید در پایان جشن جوایزی را مشترکا" به کسانی بدهید که روز تولدشان یکی است، مثلا" همه در دوم مهر ماه بدنیا آمده اند( ولی الزامن همسن نیستند). حد اقل چند نفر باید در جشن حضور داشته باشند تا به احتمال صددرصد، دست کم دو نفرشان روز تولد مشترکی داشته باشند؟

البته این سوال مشکلی نیست. در مبحث تئوری اعداد و احتمالات، اصلی است بنام "اصل لانه کبوتری" یا Pigeonhole Principle  که میگوید اگر مثلا" شش کبوتر داشته باشیم و تنها پنج لانه، وقتی همه کبوتر ها به لانه ها برگردند دست کم یکی از لانه ها بیش از یک کبوتر دارد. اصلی است ساده مثل سایر اصول و درک انهم اسان است. بر اساس این اصل و اگر سال را  365  روز فرض کنیم باید دست کم  366 نفر در جشن حضور داشته باشند تا حد اقل دو نفرشان دارای یک روز تولد باشند.

حالا مسئله را کمی مشکل تر کنیم. بگویید حد اقل چند نفر در جشن باید حضور داشته باشند تا به احتمال قریب به یقین( مثلا" 97 در صد)دست کم دو نفرشان ذارای یک روز تولد باشند. ظاهرا" مسئله تغییر زیادی نکرده است پس جواب آنهم نباید تغییر زیادی بکند. من وقتیکه این مسئله را در سر کلاسهای درسم مطرح میکنم، تقریبا" تمام شاگردانم _قبل از آنکه بیاموزند چگونه بصورت سیستماتیک مسئله را حل کنند_ بطور غریزی  3  در صد از جمعیت را کم میکنند و جواب میدهند که دست کم باید  354  نفر حضور داشته باشند تا به احتمال  97  در صد روز تولد اقلا" دو نفرشان مثل هم باشد. شاید شما هم همین فکر را کرده و همین جواب یا جوابی در همین حدود را داده باشید.  این جواب اگر چه بنظر خوب میاید اما اشتباه است. حقیقت در این مورد نیز چون مثال قبل چیز دیگری است که فقط با کمک ریاضیات قابل دسترسی است و حدس و گمان نمیتواند آنرا معلوم کند.

 جواب این مسئله  50  نفر است اما تردیدی ندارم که این جواب باعث تعجب شما شده است زیرا باور کردنش منحصرا" بر اساس "حواس عمومی" مشکل است.  اگر قرار است  366  نفر حضور داشته باشند تا با احتمال صد در صد، دست کم دو نفرشان یک روز تولد داشته باشند، چطور ممکن است برای همینکه این احتمال  97  در صد باشد باید فقط  50  نفر در جشن حضور داشته باشند؟ آنچه پذیرفتنش برای ذهن آدمی آسان تر است در واقع عکس این مطلب است یعنی احتمالش بسیار ضعیف است که از میان  50  نفر آدم حتی دو نفرشان یک روز تولد داشته باشند. در اینجا نیز "استدلال ریاضی" پا در میان مینهد و جواب را تایید میکند و به هر گونه ابهامی پایان میدهد. این مسئله را نیز در بخش مسائل هفتگی دو باره پیش خواهیم کشید.

                                                           ***************

مثال سه. یک جعبه بشکل مکعب مستطیل به ابعاد  cm 24  در  cm  36 و بلندی  cm   13  روی میز قرار گرفته و به سطح میز چسبانده شده است. مورچه ای در نقطه A  و حبه قندی در نقطه C  قرار دارد. کوتاه ترین راهی که مورچه میتواند به قند برسد کدام است و طول آن چند سانتیمتر میباشد؟ به شکل زیر نگاه کنید و قبل از آنکه دنباله ی مطلب را بخوانید، چند لحظه فکر کنید. بنظر شما کوتاه ترین راه کدامست؟

هیچ حقه ای در کار نیست. مسئله بسیار آسان است و آنرا بی جهت سخت نکنید. کوتاه ترین راه مسیرABC است که طول آن دقیقا"  cm 60 میباشد( توجه داشته باشید که از زیر جعبه راهی برای عبور نیست چون جعبه به میز چسبانده شده است)

بنظر نمیرسد که یک مورچه عاقل برای رفتن از A به C  مسیری مثل  ADC  را انتخاب کند (شکل بالا :  D  نقطه ایست روی یال  BM  )چرا که مسیر ADC  از مسیر ABC  طولانی تر است( این بسیار بدیهی است ). بنظر نیز نمیرسد که این مورچه عاقل مسیری مثل   AEC  را برگزیند(E  نقطه ایست روی میز که از آنجا میتوان نقاط A و C را دید) زیرا واضح است که هر دو مثلث  ABE  و  CBE در زاویه B  منفرجه اند و بنابراین  AB <  AE و  CB < CE است. در نتیجه مجموع   EC + AE  از   cm 60    بیشتر میشود.

حالا بیایید جعبه دیگری را انتخاب کنیم که قاعده آن cm  23 در  cm 15 سانتیمتر و بلندی آن cm 7  باشد و مورچه را باز در نقطه A وقند را در نقطه C قرار دهیم. حال چه فکر میکنید؟ کوتاه ترین راهی که مورچه میتواند به قند برسد چند سانتیمتر است؟

با آنکه صورت مسئله در اساس تغییری نکرده است و فقط جعبه دیگری انتخاب شده است که قدری کوچکتر است (میتوانست بزرگتر باشد) معهذا دیگر مسیر  ABC  که برابر cm  38  است کوتاه ترین راه نیست بلکه راهی کوتاه تر وجود دارد. این قدری عجیب بنظر میرسد و باور کردنش در بدو امر مشکل است ولی حقیقت دارد، حقیقتی که فقط بکمک ریاضیات قابل دسترسی است. آیا شما میتوانید مسیری کوتاه تر از cm  38   برای مورچه پیدا کنید؟ این مسئله را نیز در بخش مسائل هفتگی مورد بررسی مجدد قرار خواهیم داد( نگاه کنید به مسئله ی شماره ی 60  از مسائل هفتگی)

مثال چهار. چند سال پیش برای خرید شیرینی شب عید بهمراه همسرم به یکی از شیرینی فروشی های  ونکوور رفته بودیم. در میان سه چهار نوع شیرینی ای که انتخاب کردیم یکنوع شکلات هم بود که در ظرفهایی کره ای و از جنس پلاسیک روشن که میشد داخلشان را دید عرضه میشدند. اندازه های آنها با هم فرق میکرد. کوچکترینشان به اندازه یک توپ تنیس بود( به قطر تقریبی 8 سانتیمتر  و قیمت  3  دلار)و بزرگترین آنها در اندازه خانوادگی بود که از نظر قطر تقریبا" چهار برابر بزرگتر از نوع کوچک بود اما برچسب آن افتاده بود و معلوم نبود که قیمت آن چقدر است.

ما تصمیم گرفتیم که اندازه بزرگ را بخریم. من از همسرم پرسیدم که خوب است قیمت آن چقدر باشد. ایشان نگاهی به هر دو اندازه کردند و بعد از من پرسیدند بنظر شما چند برابر بزرگتر است؟ من قطر ها را "با نظر" اندازه گیری تقریبی کردم و گفتم که فکر میکنم چهار برابر بزرگتر باشد. آنگاه ایشان گفتند اگر  11  دلار باشد من حاضرم آنرا بخرم. برای من جالب بود بدانم که ایشان بر طبق چه محاسبه ای به مبلغ  11 دلار رسیده بود و وقتی کنجکاوی خودم را نشان دادم ایشان بسادگی گفتند چهار برابر  3  ذلار میشود  12  ذلار، یک دلار آنرا هم کم کردم شد  11 دلار و بعد اضافه کردند هر چیزی که در حجم بزرگ عرضه شود مقرون به صرفه تر خواهد بود تا اینکه همان حجم بصورت مجموعه ای از حجم های کوچک تر خریداری شود و البته حرفشان هم از این نظر درست بود.  مثلا" یک لیتر شیر تقریبا" یک دلار است اما وقتیکه ظرف چهار لیتری آنرا میخرید قیمتش سه دلار میشود. این در بازار غرب معمول است و دلائلی هم البته دارد که از بحث ما خارج است.

من از آن سال ببعد هر زمان که در کلاسهایم هندسه درس میدهم و به مبحث حجمها میرسم معمولا" این داستان را برای دانش آموزانم میگویم و از انها میخواهم که بدون استفاده از ماشین حساب نظر خودشان را بگویند و تقریبا" همه آنها جوابها یی در همین حدود میدهند. دانش آموزی گفت من حاضرم  30 دلار بپردازم و وقتی از او پرسیدم چطور به این عدد رسیدی گفت بکمک "حواسم". آنگاه دو کف دستش را بصورت دو نیمکره در آورد و بهم چسباند و گفت این توپ تنیس، گفتم بسیار خوب، بعد دستهایش را از هم دور کرد و از انحنای آنها کاست و بشکل کره ای بزرگتر نشان داد و گفت اینهم توپ بسکتبال. گفتم این نیز درست. گفت آخر این خیلی بزرگتر از آن دیگری است و من چنین احساس میکنم که اگر برای کره بزرگتر ده برابر هم بپردازم احتمالا" معامله بدی نکرده ام. حقیقت اینستکه این دانش آموز به جواب درست نزدیکتر بود تا دیگران.

راستی شما چقدر حاضرید برای انداره بزرگ بپردازید؟ اگر پاسخ شما هم رقمی است در همین حدود که دیگران گفته اند و فرض کنیم که شما بجای من میبودید و اندازه بزرگ را انتخاب میکردید که بخرید، وقتی آنرا روی میز صندوقدار میگذاشتید، اگر ایشان بشما میگفت که مثلا" قیمت آن  150  دلار یا  170  دلار یا  190  دلار یا حتا بیشتر است آیا از تعجب دهانتان باز نمیماند و فکر نمیکردید که صندوقدار بطور قطع اشتباه میکند؟ تصور میکنم همین طور میشد و این به آن دلیل است که قضاوت در باره جواب یک مسئله ریاضی را به "  حواس" خود سپردید و حواس انسان خطا پذیر است.

البته این مسئله، مسئله مشکلی نیست و اگر شما یک ماشین حساب داشته باشید و فرمول حجم کره را هم بدانید بسادگی میتوانید حجم هر دو کره را بدست آورید و بر هم تقسیم کنید و ببینید کره بزرگتر چند برابر کره کوچکتر است( یعنی چند برابر شکلات دارد )و آنوقت این نسبت را در سه دلار ضرب کنید تا قیمت کره بزرگتر بدست آید. لیکن اگر قضیه ای از هندسه را که اشاره اش به اشکال و اجسام مشابه است بدانید دیگر حتا به ماشین حساب و فرمول کره هم احتیاجی نخواهید داشت تا مسئله را حل کنید. این قضیه میگوید : "اگر اندازه ابعاد جسمی  n   برابر اندازه ابعاد جسم مشابهی باشد و هر دو از یک جنس باشند، آنگاه حجم (یا وزن)  جسم اول،  n³  برابر حجم( یا وزن )جسم دوم و مساحت آن   n²  برابر خواهد بود." چون قطر کره بزرگتر چهار برابر قطر کره کوچکتر است پس حجمش  4³    (یا  64 ) برابر کره کوچکتر است و چون شکلاتها دارای یک وزن مخصوص اند پس  64  ضربدر سه  دلار میشود  192  ذلار و قیمت دقیق کره بزرگتر بدست میاید.

آنروز به هنگام خرید وقتیکه من جواب  11  دلار را از همسرم شنیدم، محاسبه ساده فوق را در ذهنم انجام دادم و پرسیدم آیا حاضر هستند  100  ذلار بابت آن بپردازند؟ ایشان گفتند هرگز! من پس از گفتگوی کوتاهی با صاحب مغازه آنرا به  120  دلار خریدم و از این معامله هم بسیار راضی بودم اما تا در خانه با ماشین حساب و فرمول و عدد و رقم به ایشان ثابت نکردم که معامله بنفع ما بوده است، ایشان دست از سر من بر نداشتند!

مثال پنجم. یک عدد یک رقمی انتخاب کنید : مثلن  5  را.   حالا اعداد صحیح یک تا ده را در نظر بگیرید.  جمعا" ده عدد هستند که فقط یکی از آنها  5  است.  پس میتوانیم بگوییم که در مجموعه ی اعداد صجبح یک تا ده، ده در صدشان  5  دارند و نود در صدشان  5 ندارند.  

اینک اعداد صحیح یک تا صد را در نظر بگیرید. آیا میتوانید حساب کنید که چند تا از این صد عدد دارای (اقلا" یک) رقم  5  هستند و چند تای آنها اصلا" رقم  5  ندارند؟ کار مشکلی نیست. من در زیر اعدادی را که دارای (اقلا" یک) رقم  5  هستند به ترتیب نوشته ام :

  95  ,85  ,75  ,65  ,59  ,58  ,57  ,56  ,55  ,54  ,53  ,52  ,51  ,50  ,45  ,35  ,25  ,15  ,5                                      

 آنها را بشمارید. جمعا"  19  تا میشوند. بنابراین  81  عدد هم وجود دارند که اصلن رقم  5  ندارند. پس میتوانیم بگوییم که در مجموعه ی اعداد صحیح یک تا صد،  19 درصدشان  5  دارند و  81 درصدشان اصلا"  5  ندارند.

اینک اعداد صحیح یک تا هزار را در نظر بگیرید. ایا میتوانید بگویید که از میان این هزار عدد چند تای آنها دارای (اقلا" یک) رقم  5  هستند و چند تا اصلا"  5  ندارند؟ این یکی قدری زحمت دارد ولی بهر حال این نیز کار مشکلی نیست. من آنرا برای شما حساب کرده ام ولی بد نیست شما خودتان هم آنرا حساب کنید : در مجموعه ی اعداد یک تا هزار، دقیقا"  271 عدد هستند که  5  دارند و  729  عدد هم هستند که اصلا"  5  ندارند.

با اندکی زحمت بیشتر، میتوانیم معلوم سازیم که از مجموعه ی اعداد صحیح یک تا ده هزار، چند تا دارای  5  هستند و چند تا اصلا"  5  ندارند و اینکار را میتوانیم به مجموعه های بزرگتری از اعداد مثلا" یک تا صد هزار، یک تا یک میلیون و غیره نیز گسترش دهیم.

همانطوری که تا کنون ملاحظه کرده اید، صرفنظر از اینکه چه مجموعه ای از اعداد را انتخاب کنید، یک تا ده، یک تا صد، یک تا هزار و غیره، آنچه مسلم است اینستکه در هر مجموعه، تعداد اعدادی که رقم  5  ندارند بمراتب بیشتر است از تعداد اعدادی که دارای رقم  5  هستند. حالا با این دستگرمی میخواهم سوال اصلی ام را از شما بپرسم : اگر همه اعداد صحیح و مثبت را در نظر بگیرید، از یک تا بینهایت را، ایا میتوانید حساب کنید که چند در صدشان  5  دارند؟

جواب این سوال دیگر خیلی ساده نیست زیرا واقعا" عملی نیست که بنشینیم و از میان بینهایت عدد، آنهایی را که دارای  5  هستند بشماریم. پس باید راهی هوشمندانه برای حل این مسئله وجود داشته باشد که من عجالتا" پیدا کردن آن راه حل را بعهده شما میگذارم و در اینجا فقط به جواب مسئله بسنده میکنم و اثبات آنرا به بخش مسائل هفتگی موکول مینمایم.

جواب این مسئله  "صد در صد" است! بله،درست خواندید، صد در صد! در مجموعه اعداد صحیح یک تا بینهایت، صد در صدشان دارای  5  هستند. یقین دارم که این جواب شما را شگفت زده و شاید هم کمی گیج کرده باشد و بعید میدانم که آنرا باور کرده باشید. چه بسا دارید پیش خود فکر میکنید که مگر ایشان همین یکدقیقه پیش خودشان نگفتند که از اعداد یک تا ده، 9 تای آنها و از اعداد یک تا صد،  81  تای آنها و از اعداد یک تا هزار،  729  تای آنها اصلا"  5  ندارند، و هر چه جلو تر برویم، و هر مجموعه ای از اعداد صحیح را که انتخاب کنیم، تعداد اعدادی که رقم  5  ندارند بمراتب بیشتر است از تعداد اعدادی که رقم  5  دارند. آیا اینها کافی نیستند تا به جواب فوق شک کنیم؟ آخر این جواب که با عقل جور در نمیاید. چطور ممکن است از مجموعه ی اعداد یک تا بینهایت، صد در صدشان دارای  5  باشند در حالیکه ما اعداد فراوانی را میشناسیم که رقم  5  اصلا" در آنها یافت نمیشود.

  ولی حقیقت امر همان است که گفته شد.

علت پیچیدگی موضوع به مقدار زیادی بستگی دارد به مفهوم کلمه " بینهایت". بینهایت در ریاضیات چیز مرموزی است و رفتارش با بقیه ی اعداد فرق میکند. اصلا" بینهایت عدد نیست، یک "مفهوم" است که باید مطلقا" درک گردد و راه کار کردن با آن آموخته شود.

نکته ی مورد نظر من هم از انتخاب و بیان مثالهای فوق دقیقا" همین است که بگویم مسائلی که در ابتدا با اندیشه ی ما جور در نمی آیند و بواسطه ی پیچیدگی صورت یا غامض بودن جواب براحتی قابل فهم نیستند، با برهان و استدلال ریاضی شکل دیگری پیدا میکنند : روشن میشوند و قابل درک میگردند. استدلال ریاضی اگر چه زاییده مغز بشر است ولی قدرتش در تشخیص و کشف حقیقت از مغز بیشتر است. وقتیکه مثال فوق را در بخش مسائل هفتگی و با استفاده از مدل و استدلال ریاضی حل کنیم خواهید دید که جواب "صد در صد" چطور شما را قانع میکند. اما حتی پس از قانع شدن، وقتیکه دو باره به موضوع فکر میکنید که چطور ممکن است صد در صد اعداد، دارای  5  باشند دچار سر گیجه میشوید.این سر گیجه همانطور که گفته شد ناشی از مفهوم بینهایت است."بینهایت" بینهایت سر گیجه آور است! (نگاه کنید به مسئله ی  16)

مثالهای فوق و مثالهای بسیار دیگری که در مطالعه ریاضیات و یا در زندگی روز مره به آن برخورد خواهید کرد، موید این نظر است که قضاوت ما در باره ی جواب یک مسئله_ اگر در حل مسئله مددی از ریاضیات نگرفته باشیم _ ممکن است دارای خطا باشد. برای از بین بردن خطا چاره ای نداریم جز آنکه مسئله را با یک مدل دقیق ریاضی حل کنیم. پایان

مقاله چهارم: فرض غلط شما را به بیراهه میاندازد

در این مقاله روی سخن من بیشتر با دانش آموزان است، آنگاه که تصمیم میگیرند مسئله ی جدیدی را حل کنند. در بیشتر موارد - بخصوص وقتیکه داده های مسئله ای کافی نباشند – ما مجبوریم پیش از حل مسئله، فرض یا فرضهایی بکنیم تا بتوانیم به مسئله حرکت داده و آنرا حل نماییم. "فرض غلط شما را به بیراهه می اندازد" گفته ای است که نه تنها در عالم ریاضیات صادق است بلکه در شئونات مختلف زندگی روزمره نیز مصداق دارد. فرض غلط میتواند پرده ای بین شما و جواب بکشد بطوریکه شما دیگر جواب را نبینید و هر چه سعی کنید نتوانید به حل مسئله توفیق یابید. فرض غلط مثل خشتی است که کج گذاشته شده باشد، دیوار روی این خشت تا ثریا هم که بالا رود، کج خواهد رفت.

حال ممکن است شما با دلهره سوال کنید که من از کجا باید بدانم که فرضی را که کرده ام غلط است و مدتی را که صرف حل مسئله میکنم تلف نمیشود. سوال بجایی است اما متاسفانه جوابی روشن برای آن ندارم که بشما بدهم. اگر دبیر ریاضی تان  در دسترس است میتوانید از ایشان کمک بگیرید ولی اگر تنها هستید، راه دیگری ندارید جز آنکه خود تلاش کنید و در حل مسئله استقامت ورزید. همین قدر که بعد از مدتی تلاش نتوانید مسئله را حل کنید خود ممکن است معنی اش این باشد که فرض تان غلط بوده است. این خود یک قدم مثبت است. مروری بر فرض تان بکنید و در صورت لزوم تغییراتی در آن بدهید و استراتژی خود را در حل مسئله عوض کنید و دوباره تلاش کنید. شاید راهی باز شود و به حل مسئله کمک گردد. در هر حال نباید زیاد ناراحت این موضوع باشید چونکه حتی افراد با تجربه هم گاهی فرض غلطی میکنند و مدتی در مسئله میمانند.

در زیرچند مثال میاورم شما سعی کنید آنها را حل نمایید.  اینها مثالهای سختی نیستند و بیشتر شبیه معما های ریاضی هستند تا مسائل ریاضی اما رابطه زیادی با این بحث دارند و از آنجا که خواننده پس از خواندن آنها، بطور غریزی و طبیعی ممکن است فرض غلطی پیش خود بکند، همین فرض مانع از رسیدن او به جواب خواهد شد.

مثال یک. دو دوست در ساعت شش بعد از ظهر کارشان تمام میشود و به سوی خانه میروند. در سر راه آنها رودخانه ای است که در ساحل آن یک قایق یکنفره وجود دارد( یعنی اگر دو نفر سوار شوند قایق غرق میشود و وقتیکه یکنفر سوار است، دیگری نمیتواند به آن آویزان شود ). این دو، باید از رودخانه عبور کنند تا به خانه هایشان برسند. شنا هم بلد نیستند، رودخانه هم عمیق است و نمیتوان در آن راه رفت، رودخانه پل هم ندارد، چیز های دیگری هم از قبیل طناب، کنده درخت و غیره در آن نزدیکی نیست و مردم دیگری هم نیستند که کمک بکنند و اصلن بدنبال اینگونه راه حل ها نروید. این دو دوست توانسته اند مشکل هر روز خود را حل کرده و با قایق از رودخانه عبور کنند و به خانه هایشان برسند. شما میدانید چطور؟

 مثال دو. آیا میتوانید با شش چوب کبریت هم اندازه، دقیقا" چهار مثلث متساوی الاضلاع هم اندازه بسازید؟ ( فقط چهار مثلث، نه بیشتر نه کمتر     ( مدتی نیز به این معما فکر کنید)

مثال سه.  این  ۹  نقطه در روی رئوس، وسط اضلاع و در مرکز یک مربع قرار گرفته اند. آیا میتوانید بوسیله چهار قطعه خط مستقیم آنها را بهم وصل کنید طوریکه قلمتان از روی کاغذ بلند نشود؟

اینک قبل از آنکه جواب معما ها را _ که بزودی خواهم گفت _ بخوانید، مدتی به آنها فکر کنید. اگر توانستید معما ها را حل کنید معلوم میشود که هیچگونه پیشداوری غلطی در باره آنها نکرده اید ولی اگر موفق به حل آنها نشدید، نگاهی به عقب بیندازید و ببینید آیا فرض غلطی نکرده اید یا خود را محدود به شرایطی نساخته اید که معما اصلا" مطرح نکرده و شما بطور غریزی آنرا پیش پای خود گذاشته اید. شاید این مرور، راهی باز کند و شما بالاخره معما ها را حل کنید. در هر حال اگر پس از تفکر کافی نتوانستید جوابها را پیدا کنید، به جوابهای زیر توجه فرمایید :

1 ) این دو دوست در دو طرف رودخانه کار میکنند و خانه ی هر کدام از آنها هم در طرف دیگر رودخانه است بنابراین اصلا" مشکلی برای عبور از رودخانه ندارند. اگر شما ناخودآگاه فرض کرده اید که آنها در یکطرف رودخانه کار میکنند، این مشکل شما است! چنین فرضی در صورت معما نیامده است و همین فرض مانع از آن میشود که شما جواب را ببینید. در حقیقت، شروع معما هم بسیار استادانه کلمه بندی شده و خواننده را ناخودآگاه به فرض غلط میکشاند چون میگوید "دو دوست" و خواننده بطور غریزی دوست را در کنار دوست و شانه به شانه او قرار میدهد.

2 ) بیشتر معما های چوب کبریتی در فضای دو بعدی انجام میشوند( مثلا" روی میز یا روی قالی )شما هم ممکن است بطور غریزی در حل این معما همین فرض را کرده اید. اینک به فضای سه بعدی بروید و با شش چوب کبریت یک هرم مثلث القاعده منتظم (تتراهدران )بسازید.

3 )در این معما شما ممکن است خودتان را بطور غریزی محدود به چهار دیواری این مربع کرده باشید. آیا فکر کردید که این چهار قطعه خط مستقیم میتوانند از مربع هم خارج شوند؟ اینک A  را به  D  وصل کنید و به اندازه نصف خود امتداد دهید( قطعه خط اول )حالا بصورت مورب در جهت شمال شرقی و تحت زاویه ی 45  درجه بروید تا درست به بالای نقطه ی  B  برسید( قطعه خط دوم )، این نقطه را به A   وصل کنید( قطعه خط سوم )،  A را به  C  وصل کنید( قطعه خط چهارم ). پایان